如何交换求和符号

参考:《算两次》——单樽

双重求和符号的交换

双重求和实际上可以看作对一个矩阵的求和,只不过矩阵的形态会有不同。

上下三角型矩阵

$$\sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k} \frac{a_i}{k}$$

它的形态就是

$$
\left(
\begin{matrix}
\frac{a_1}{1} & \frac{a_1}{2} & \frac{a_1}{3} \\
0 & \frac{a_2}{2} & \frac{a_2}{3} \\
0 & 0 & \frac{a_3}{3}
\end{matrix}
\right)
$$

所以我们只要变换行列的求和顺序即可
$$\sum_{i=1}^{n} a_i \sum_{k=i}^{n} \frac{1}{k}$$

对称矩阵

$$g(n) = \sum_{m|n}\sum_{d|\frac{n}{m}} \mu(d) g(m) = \sum_{d|n}\sum_{m|\frac{n}{d}}\mu(d)g(m)$$