整体二分

整体二分

整体二分就是带着所有的询问一起二分。

每次二分过后,就把满足条件的询问放到左边,不满足条件的询问放到右边,继续递归二分。

比如 solve(int l, int r, vector<int> vec),其中 $[l,r]$ 当前的操作序列,$vec$ 表示当前的询问。

时间复杂度分析:想象一棵满二叉树,假如每个节点都只进行一次遍历操作,那么总复杂度就是 $O(n \log n)$

luogu3527 为例。

给定一个环,每个节点有一个所属国家,$k$ 次事件,每次对 $[l,r]$ 区间上的每个点点权加上一个值,求每个国家最早多少次操作之后所有点的点权和能达到一个值。

假设二分端点是 $m$,那么先做 $[l,m]$ 这些操作的更新,然后将询问分成两部分,如果已经满足则放到左边,不满足的话减掉这些更新的和再放到右边。然后继续递归二分即可。

注意会爆long long

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 3e5 + 5;
using ll = long long;
int a[maxn], ans[maxn];
int le[maxn], ri[maxn], x[maxn];
vector<int> G[maxn];
int n, m, q;

__int128 diff[maxn];
inline int lowb(int x) { return x & (-x); }
inline __int128 query(int x) {
__int128 ret = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowb(i)) ret += diff[i];
return ret;
}
inline void add(int l, int r, int val) {
for (int i = l; i <= m; i += lowb(i)) diff[i] += val;
for (int i = r + 1; i <= m; i += lowb(i)) diff[i] -= val;
}

void update(int l, int r, int sign) {
for (int i = l; i <= r; i++) {
if (ri[i] >= le[i])
add(le[i], ri[i], sign * x[i]);
else {
add(le[i], m, sign * x[i]);
add(1, ri[i], sign * x[i]);
}
}
}

void solve(int l, int r, vector<int> c) {
if (c.empty()) return;
if (l == r) {
for (auto &u : c) ans[u] = l;
return;
}
int m = l + r >> 1;
update(l, m, 1);
vector<int> left, right;
for (auto &u : c) {
__int128 sum = 0;
for (auto &v : G[u]) sum += query(v);
if (sum >= a[u]) {
left.push_back(u);
} else {
a[u] -= sum;
right.push_back(u);
}
}
update(l, m, -1);
solve(l, m, left);
solve(m + 1, r, right);
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1, c; i <= m; i++) scanf("%d", &c), G[c].push_back(i);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a + i);
scanf("%d", &q);
for (int i = 1; i <= q; i++) scanf("%d%d%d", le + i, ri + i, x + i);
vector<int> c(n);
for (int i = 1; i <= n; i++) c[i - 1] = i;
solve(1, q + 1, c);
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (ans[i] == q + 1)
puts("NIE");
else
printf("%d\n", ans[i]);
}